réel (nombre).

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réel (nombre). nombre pouvant mesurer la longueur d'un segment de droite. La
notion de nombre réel est l'aboutissement de l'extension progressive de la notion de
nombre. L'utilisation d'unités plus ou moins petites et multiples les unes des autres a
d'abord élargi l'ensemble des entiers positifs à l'ensemble des rationnels (représentés
par une fraction). Puis les Grecs reconnurent l'existence de nombres non rationnels
mesurant des segments de construction pourtant très simple ; par exemple, la
diagonale d'un carré de côté 1 mesure ä 2, nombre qui ne vaut aucune fraction. On dut
ensuite accepter l'existence de nombres ne vérifiant aucune équation algébrique ; ainsi,
le nombre Y mesurant la circonférence d'un cercle de diamètre 1 ne vérifie exactement
aucune équation algébrique. Par ailleurs, la symétrisation de l'addition obligea à
l'introduction des nombres négatifs.
Finalement, Richard Dedekind proposa, vers 1870, de considérer comme définition
d'un « nombre réel » toute « coupure » de l'ensemble des nombres rationnels en deux
parties G et D dont les éléments de l'une sont inférieurs aux éléments de l'autre, mais
tels que l'on puisse trouver un élément de G et un élément de D aussi près que l'on veut
l'un de l'autre. Cette définition en recoupait une autre proposée par Augustin Cauchy un
peu plus tôt et que David Hilbert allait résumer par un qualificatif : l'ensemble u d es
nombres réels est complet ( voir complet [espace] ). Pratiquement, cela signifie qu'il
existe un et un seul ensemble dans lequel on puisse appliquer les règles du calcul
algébrique (autrement dit qui soit un corps commutatif totalement ordonné) et qui
vérifie la propriété : « Toute suite croissante majorée a une limite. » Cet ensemble peut
être mis en bijection avec les points d'une droite de la géométrie euclidienne ; c'est
pourquoi l'ensemble des réels est parfois appelé « droite réelle ». Cependant, l'ensemble
des nombres réels n'est pas algébriquement clos ; c'est-à-dire que certains polynômes
à coefficients réels n'ont pas leurs racines dans u. Cette circonstance, ainsi que
d'autres, mena à la découverte des nombres complexes. Voir équation.
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Les corrélats
absolue (valeur)
Cantor Georg
complet (espace)
Dedekind Richard
équation
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