PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI1) Opérations sur les ensembles.
Publié le 22/05/2020
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PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI
1) Oprations sur les ensembles.
LÕensemble de tous les rsultats possibles dÕune exprience sÕappelle lÕensemble fondamental
Un vnement A est un sous-ensemble de S.
LÕensemble des vnements de S se note E ou P(S).
Si A et B sont deux vnements, on dfinit :
A∪ B = {x ∈S /x ∈A ou x∈B}
A∩B = {x ∈S /x ∈A et x∈B}
A = {x ∈S /x ∉A }cÕest le complmentaire de A
Si A∩B = ∅, on dit que A et B sont disjoints ou quÕils sont incompatibles.
Une famille dÕvnements 2 2 disjoints et dont la runion est S est une partition de S.
2) Dfinition dÕune proba.
Une proba sur un ensemble S est une fonction P : E →[0, 1] vrifiant :
P( S) = 1
Si An est une suite dÕvnements 2 2 disjoints de S
P(
= ∪ ∪....) 2 1A A P( + ) 1A P( 2A ) + É
Consquences :
Si A∩B= ∅, P( A ∪ B ) = P( A) + P (B )
P(∅) = 0
P(
A ) = 1 Ð P( A)
Si A⊂ B, P( A) ≤ P(B )
CÕest une fonction qui un ensemble associe sa vraisemblance.
Si A et B sont 2 vnements quelconques, P(A∪ B) = P(A ) + P(B ) Ð P(A∩B )
3) Probabilit conditionnelles et indpendance.
Soit B un vnement tel que P(B) > 0.
LÕvnement A/B sÕappelle A sachant B sa proba est :
P(A/B)
) () (
B PB A P∩
=
On en dduit:
Formule des proba conditionnelles.
) ( ) / ( ) (B P B A P B A P× = ∩
Formule des proba totales
) ....
/ ( )....
/ ( ) / ( ) ( ) .....
(1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1− ∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ n n nA A A A P A A A P A A P A P A A A P
Formule de Bayes :
Si
nA A A.....
; ; 2 1 forment une partition de S et si B est un vnement,
∑
=
= = = n j
jj ji i i i
i
A B P A PA B P A P
B PA B P A P
B A P
1
) / ( ) () / ( ) (
) () / ( ) (
) / (.
»
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