opérateurs
Publié le 17/05/2020
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FF OO RR MM UU LL AA IIRR EE RR EE LL AA TT IIFF AA UU XX OO PP ÉÉ RR AA TT EE UU RR SS
Soient U et V deux champs scalaires et
r a et
r
b deux champs vectoriels.
1.
Formules portant sur un seul champ:
1.
r Ñ .
( r Ñ U ) = r Ñ 2U soit div( grad ®
U)= D U
2.
r Ñ Ù ( r Ñ U ) = r 0 soit rot
®
(grad®
U )= r 0
3.
r Ñ .
( r Ñ Ù r a ) = r 0 soit div( rot ® r a )
= r 0
4.
r Ñ Ù ( r Ñ Ù r a )= r Ñ ( r Ñ . r a ) - r Ñ 2r a soit rot
®
( rot® r a )
=grad®
( div r a )- D r a
2.
Formules portant sur deux champs:
5.
r Ñ ( UV ) =V r Ñ ( U ) +U r Ñ ( V ) soit grad®
( UV ) =V grad ®
U+U grad ®
V
6.
r Ñ .
( U r a ) = r a ( r Ñ U ) +U ( r Ñ . r a ) soit div( U r a ) =grad®
U. r a + U div r a
7.
r Ñ Ù (U r a )=( r Ñ U ) Ù r a + U ( r Ñ Ù r a ) soit rot
®
(U r a )=grad®
UÙ r a + U rot ® r a
8.
r Ñ .
( r a Ù r b ) = r b .
( r Ñ Ù r a )- r a .
( r Ñ Ù r b ) soit div( r a Ù r b ) = r b .
rot® r a
- r a .
rot ® r b
9.
r Ñ Ù ( r a Ù r b ) =( r Ñ . r b )r a -( r Ñ .r a ) r b + ( r b .r Ñ ) r a - ( r a .r Ñ ) r b
soit
rot
®
( r a Ù r b ) =( div r b )r a - ( div r a ) r b + ( r b .
grad ®
) r a - ( r a .
grad ®
) r b
10.
r Ñ ( r a .r b ) = r a Ù ( r Ñ Ù r b ) + r b Ù ( r Ñ Ù r a ) +( r b .r Ñ ) r a + ( r a .r Ñ ) r b
soit
grad ®
( r a .r b )= r a Ù ( rot® r b )
+ r b Ù ( rot® r a )
+( r b .
grad ®
) r a + ( r a .
grad ®
) r b
3.
Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées:
a.
Gradient:
* cartésiennes:
grad ®
U= ¶
U
¶ x
r e x+ ¶
U
¶ y
r e y+ ¶
U
¶ z
r e z
* cylindriques:
grad ®
U= ¶
U
¶ r
r e r+ 1
r ¶ U
¶ q
r e q+ ¶
U
¶ z
r e z
* sphériques:
grad ®
U= ¶
U
¶ r
r e r+1
r ¶ U
¶ q
r e q+ 1
r sin q ¶U
¶ j
r e j
b.
Divergence:
* cartésiennes:
div r a = ¶
a x
¶x
+ ¶
a y
¶ y
+ ¶
a z
¶z
* cylindriques:
div r a = 1
r ¶ r a r
¶r
+ 1
r ¶ a q
¶ q
+ ¶
a z
¶z
* sphériques:
div r
a
= 1
r 2
¶ r 2ar
¶ r
+ 1
r sin q ¶a qsin q
¶ q
+ 1
r sin q ¶a j
¶ j
.
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