Nombres et Opérations1) Les Entiers NaturelsDeux mouvements de pensée sont à l'origine de l'idée de nombre :-L'idée ordinale du nombre : dans ce cas, chaque objet est considéré comme particulier :chaque mot désigne un objet et chaque nombre a un statut de numéro.

« No mbres et Opération s1) Les En tiers Na turels De ux mouv emen ts d e pe nsée son t à l’or igine de l’i dée de n ombr e : - L ’i dé e ord inale d u nombre : d ans ce cas, c haqu e obj et est c onsidéré comm e particuli er : c ha qu e mot dés igne un objet e t chaque n ombr e a un st atu t de n uméro.

Le nombre transite p ar le langag e oral.

Il fa ut in venter e t mém oriser une su ite de mo ts da ns un or dre i mmua ble > Appr entissage de la « co mpt ine n umérique » des nom bres (les mots de nom bres s’égrè nent selon u n ordre établi, et a près cha que m ot, il y en a u n au tre ; la suit e ne s’arrête jama is).

C ’est en v oulan t connaît re le nom bre qui vient « a pr ès » qu e l’enf ant découvr e p rogressivem ent l’organ isation « algor ithmique » d e la num ération or ale.

* ** Un e déf inition o rdinale du n ombr e : les axiom es de Pe ano (ma thématicie n ital ien) 0 est un n ombre To ut no mbre a un su ccesseur qui es t égalem ent un nom bre De ux nomb res n’o nt ja mais le mêm e successeur (o u alors les nom bres sont ég aux) L e suc cesseur d ’un nombre ne p eut êtr e 0 S i une cl asse con tient 0 et u n no mbre q uelconque n, e t si le suc cesseur de n en f ait égalem ent p art ie, ce tte classe con tien t tous les nombr es (p rincipe d ’induc tion co mplèt e) - L ’i dé e car dinale du n ombr e : si l’on s’in téresse à la not ion de q uan tité et notamm ent à sa m émor isation ( conse rvation), c’ est l’id ée de corresp ondance te rme à t erm e qu i s’imp ose.

L a colle ction est c onsidérée d ans son to ut.

La recon naissanc e immé diat e d’u ne qu antit é (« sub tizing ») n’ est guèr e possible au -delà de six élém ents.

L es systèmes de n umération 1/ Les num éra tions figuré es P our r eprésent er les nombr es, les div erses sociét és on t ut ilisé di vers obj ets naturels ou f abriqués.

2/ Les num éra tions orales L e système de n umération déc im ale de p osition a - d ix mots po ur les unités, - d es m ots pour c ertaines diz aines - d es m ots qui a ppara issent co mme des exc ept ions po ur les nombres de 11 à 16 - d es m ots pour c ertaines un ités d’ord re sup érieur Il y a des irr égularités da ns l’oralisat ion de n otre système de nu mération d écimale q ui d ema nde à l’e nfa nt de :  s’a ppro prier les mots de la langu e qui n e se co nformen t pas au système algor ithmiq ue de la n umé ration écr ite (les nombr es 11, 12, 13, 14, 15, 16 sont dé nomm és par un se ul mo t favor isant u ne le cture globale d e ces écritu res : ce ci suppose u ne compr éhensio n approfo ndie du système é crit d e num érati on dé cimale – p ar contre 17, 18, 19 sont des mots co mposés – le nomb re 20 apparaît c omm e une r upt ure …)  c ompr endre la sign ificat ion de la jux taposit ion d es m ots : « tr ois cen ts » sign ifie tro is fois cen t ou t ro is c en taines (les mots se multipli ent) « ce nt q uatre » signif ie cent plus quat re ou u ne c en taine et q ua tre uni tés (les mots s’ajo ute nt) 3/ Les num éra tions écr ites L e ch oix d ’un n ombre limi té de symboles et le c hoix d’u ne ou pl usieu rs bas es de num ération sont a u f ond emen t de c haqu e système d e numération.

 L e pr incip e d’ une b ase de n um éra tion C e pr incipe co nsiste à c ompter p ar pa quets con tena nt un n ombre fixé d’élém ents et à dés igner p ar u n symbole écr it o u un assemblag e de symboles le nombr e d’élém ents.

Puis, on f orme d es paq uets d e pa quets et ai nsi d e suit e.

Ce p ri nc ipe es t une r ép onse au problème de l’ énum érati on des él éme nts d’un e colle ction : n e pas o ublier d’élém ents, ne pas les comp ter d eux fo is, les ré organiser p our e n rendre com pte de manière i ntelligible.. »