morphisme.
Publié le 08/12/2021
Extrait du document
Ci-dessous un extrait traitant le sujet : morphisme.. Ce document contient 406 mots. Pour le télécharger en entier, envoyez-nous un de vos documents grâce à notre système d’échange gratuit de ressources numériques ou achetez-le pour la modique somme d’un euro symbolique. Cette aide totalement rédigée en format pdf sera utile aux lycéens ou étudiants ayant un devoir à réaliser ou une leçon à approfondir en : Encyclopédie
morphisme. n.m. MATHÉMATIQUES : application transportant une structure sur
une autre. Précisément, soient E et F des ensembles munis d'opérations notées
respectivement ^ et T ; on dit qu'une application f e st un morphisme de (E, ^) dans
(F, T) si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E :
f ( x ^ y) = f ( x ) T f ( y )
La notion de morphisme est l'une des plus fécondes des mathématiques dites
modernes ; elle permet en effet d'expliciter les identités de structure et, donc, de
transporter dans un ensemble les propriétés d'un autre. Elle est aussi un guide précieux
lors de l'étude d'un nouvel ensemble dont on a reconnu les parentés de structure avec
d'autres ensembles. Par exemple, la reconnaissance de l'isomorphisme entre les
nombres complexes munis de la multiplication et les similitudes de centre donné du plan,
munies de la composition des transformations, est une véritable révélation : la
résolution de problèmes géométriques en termes algébriques complexes semble en
effet parfois un véritable tour de passe-passe mathématique.
Par exemple, l'exponentielle est un morphisme de ( u,+) dans (u,×) ; en effet
= e a × e b. L'application qui, à une application linéaire d'un espace vectoriel E de
dimension n, fait correspondre sa matrice est un morphisme d'anneau de ( »(E, E),+,0)
dans (¼n,n,+,×). Voir linéaire et matrice.
ea+b
L'application qui, à un polynôme de degré 3 ou plus P : x _ ax 3 + bx2 + cx + d, fait
correspondre le quadruplet ( a, b, c, d ) est un morphisme d'espace vectoriel de ( §3,+,.)
dans (u4,+,.).
Le mot morphisme est généralement précédé d'un préfixe qui précise la nature du
lien existant entre les structures transportées. En parlant d'homomorphisme, on insiste
sur le transport de structures opératoires (et non topologiques par exemple). Un
endomorphisme est un morphisme d'un ensemble dans lui-même ; par exemple, les
applications linéaires sont les endomorphismes d'espaces vectoriels. Un isomorphisme
est une bijection dont la réciproque est aussi un morphisme ; par exemple, le groupe
des isométries du rectangle (muni de la composition des transformations) est
isomorphe au groupe ({Ø,1}2,+) par l'isomorphisme :
(0,0) _ identité
(0,1) _ symétrie d'axe D
(1,0) _ symétrie d'axe D'
(1,1) _ demi-tour autour de 0.
Un automorphisme est une bijection d'un ensemble dans lui-même dont la
réciproque est aussi un morphisme ; par exemple, dans un groupe, la translation
d'élément t : x _ t + x est un automorphisme de groupe.
Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
automorphisme
endomorphisme
homomorphisme
isomorphisme - 2.MATHÉMATIQUES
linéaire
matrice - 2.MATHÉMATIQUES
morphisme. n.m. MATHÉMATIQUES : application transportant une structure sur
une autre. Précisément, soient E et F des ensembles munis d'opérations notées
respectivement ^ et T ; on dit qu'une application f e st un morphisme de (E, ^) dans
(F, T) si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E :
f ( x ^ y) = f ( x ) T f ( y )
La notion de morphisme est l'une des plus fécondes des mathématiques dites
modernes ; elle permet en effet d'expliciter les identités de structure et, donc, de
transporter dans un ensemble les propriétés d'un autre. Elle est aussi un guide précieux
lors de l'étude d'un nouvel ensemble dont on a reconnu les parentés de structure avec
d'autres ensembles. Par exemple, la reconnaissance de l'isomorphisme entre les
nombres complexes munis de la multiplication et les similitudes de centre donné du plan,
munies de la composition des transformations, est une véritable révélation : la
résolution de problèmes géométriques en termes algébriques complexes semble en
effet parfois un véritable tour de passe-passe mathématique.
Par exemple, l'exponentielle est un morphisme de ( u,+) dans (u,×) ; en effet
= e a × e b. L'application qui, à une application linéaire d'un espace vectoriel E de
dimension n, fait correspondre sa matrice est un morphisme d'anneau de ( »(E, E),+,0)
dans (¼n,n,+,×). Voir linéaire et matrice.
ea+b
L'application qui, à un polynôme de degré 3 ou plus P : x _ ax 3 + bx2 + cx + d, fait
correspondre le quadruplet ( a, b, c, d ) est un morphisme d'espace vectoriel de ( §3,+,.)
dans (u4,+,.).
Le mot morphisme est généralement précédé d'un préfixe qui précise la nature du
lien existant entre les structures transportées. En parlant d'homomorphisme, on insiste
sur le transport de structures opératoires (et non topologiques par exemple). Un
endomorphisme est un morphisme d'un ensemble dans lui-même ; par exemple, les
applications linéaires sont les endomorphismes d'espaces vectoriels. Un isomorphisme
est une bijection dont la réciproque est aussi un morphisme ; par exemple, le groupe
des isométries du rectangle (muni de la composition des transformations) est
isomorphe au groupe ({Ø,1}2,+) par l'isomorphisme :
(0,0) _ identité
(0,1) _ symétrie d'axe D
(1,0) _ symétrie d'axe D'
(1,1) _ demi-tour autour de 0.
Un automorphisme est une bijection d'un ensemble dans lui-même dont la
réciproque est aussi un morphisme ; par exemple, dans un groupe, la translation
d'élément t : x _ t + x est un automorphisme de groupe.
Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
automorphisme
endomorphisme
homomorphisme
isomorphisme - 2.MATHÉMATIQUES
linéaire
matrice - 2.MATHÉMATIQUES
↓↓↓ APERÇU DU DOCUMENT ↓↓↓
