GRAND ORAL PHYSIQUE: Les lois de Kepler

« GRAND ORAL DE SPÉCIALITÉ PHYSIQUE-CHIMIE : INTRODUCTION : Présentation du sujet : Les lois de Kepler permettent de décrire le mouvement des satellites en orbite autour d'un astre attracteur dont la masse est centrale et dominante.

Dans un tel système, elles prévoient que la vitesse orbitale du corps diminue lorsque sa distance au centre augmente.

Pourtant, dans les galaxies, les étoiles les plus éloignées se déplacent presque aussi vite que celles proches du centre, ce qui semble contredire ces prévisions. Problématique : Nous pouvons lors nous demander : Dans quelle mesure les lois de Kepler permettent-elles de décrire le mouvement des étoiles dans une galaxie ? Plan : Dans une première partie, je montrerai que les lois de Kepler sont valables dans des systèmes dominés par une masse centrale unique et dominante, où les autres interactions gravitationnelles sont négligeables. Dans une seconde partie, je montrerai que ces conditions ne sont plus respectées à l'échelle galactique car la masse est répartie dans un disque et l'influence gravitationnelle des autres constituants de la galaxie ne peut plus être négligée. Enfin, j’analyserai les conséquences de cette limite du modèle, notamment l’écart entre les vitesses observées des étoiles dans une galaxie et les prédictions théoriques, qui conduit à l’hypothèse de la matière noire. DEVELOPPEMENT : I) Les lois de Kepler décrivent le mouvement des corps en orbite autour d’un astre attracteur dont la masse est centrale et dominante.

Elles sont valables dans des systèmes dominés par une masse centrale unique et dominante, où les autres interactions gravitationnelles sont négligeables. Il existe 3 lois de Kepler : 1.

1ère loi de Kepler : Loi des orbites La 1ere loi de Kepler énonce que les orbites des satellites sont des ellipses dont le centre de l'astre attracteur occupe 1 des foyers. 2.

2ème loi de Kepler : Loi des aires La 2ème loi de Kepler dit que le segment reliant le centre de l'astre attracteur au satellite, balaie des surfaces d'aires égales pendant des durées égales. Ceci traduit que :  La distance parcourue du satellite en une durée donnée est donc plus grande s'il se rapproche de l'astre attracteur et plus petite s'il s'en éloigne.

D'où, la vitesse du satellite augmente lorsqu'il se rapproche de l'astre attracteur et diminue lorsqu'il s'en éloigne. 3.

3ème loi de Kepler : Loi des périodes La 3ème loi de Kepler démontre que le quotient du carré de la période T de révolution d'un satellite par le cube du demi-grand axe a de son orbite est indépendant au satellite et ne dépend que de la masse M de 2 l'astre attracteur : T 3 = constante a Dans le système solaire, les orbites des planètes sont ellipses mais qui sont presque circulaires.

On peut donc assimiler une orbite elliptique à un cercle de rayon 𝑟 .

Dans ce cas, le demi-grand axe 𝑎 est égal au rayon 𝑟 , et la troisième loi de Kepler prend la forme : 2 2 𝑇 4Π = 3 𝐺𝑀 𝑟 On cherche ici à relier cette loi à la vitesse d’un satellite en orbite circulaire, afin d’obtenir une expression de sa vitesse en fonction de la masse 𝑀 de l’astre attracteur et de la distance 𝑟 . D'une part, dans le repère de Frenet qui est un repère mobile adapté au mouvement circulaire, l’accélération s’écrit : 𝑎= 2 𝑑𝑣 𝑣 𝑈𝑡+ 𝑈𝑛 (Où 𝑈𝑡 est le vecteur tangent à la trajectoire et 𝑈𝑛 le vecteur 𝑑𝑡 𝑟 dirigé vers le centre du cercle) D'autre part, le satellite subit uniquement la force gravitationnelle exercée par l'astre attracteur : elle a pour formule 𝐹 =− 𝐺𝑀𝑚 𝑈 2 𝑟 D'après la 2ème loi de Newton : ❑ 𝐹𝑒𝑥𝑡=𝑚𝑎 ∑ ❑ On obtient alors l'égalité : 𝑚 × D'où : ( 2 ) 𝑑𝑣 𝑣 𝐺𝑀𝑚 𝑈𝑡+ 𝑈𝑛 =− 2 𝑈 𝑑𝑡 𝑟 𝑟 avec 𝑈 =−𝑈𝑛 2 𝑑𝑣 𝑣 𝐺𝑀𝑚 𝑈𝑡 + 𝑈𝑛= 2 𝑈𝑛 𝑑𝑡 𝑟 𝑟 2 𝑑𝑣 𝑣 𝐺𝑀𝑚 =0 sur 𝑈𝑡 Par identification, on obtient l'égalité : = , ce qui signifie que 2 𝑑𝑡 𝑟 𝑟 𝑑𝑣 =0 implique que 𝑣 est constante, le mouvement circulaire d'un satellite est donc uniforme. 𝑑𝑡 √ 𝑣2 𝐺𝑀𝑚 𝐺𝑀 Donc, d'après l'égalité : = , on en déduit que 𝑣= 2 𝑟 𝑟 𝑟 Avec: G : constante gravitationnelle ; M : masse de l'astre attracteur; r : rayon de l'orbite du satellite; v : vitesse du.... »