GO maths: Comment l’invention des logarithmes a-t-elle contribué au développement du monde scientifique en particulier de l’astronomie?

« GO maths: Comment l’invention des logarithmes a-t-elle contribué au développement du monde scientifique en particulier de l’astronomie? Introduction Imaginez un monde sans calculatrice, où prédire la trajectoire d'une planète ou la date d'une éclipse prendrait des heures voire des jours, avec un risque d'erreurs considérables. C'était la réalité des scientifiques au 17ème siècle, une époque où l'astronomie et la navigation maritime étaient en plein essor. Les mathématiciens et astronomes de l'époque passent des semaines entières à effectuer des multiplications, divisions et extractions de racines sur de très grands nombres, opérations particulièrement fastidieuses et sujettes aux erreurs. Certains mathématiciens tentent donc de trouver des méthodes de calculs rapides et sûres. C'est dans ce contexte que John Napier, ou Neper comme on le connaît en France, va, en 1614, révolutionner le calcul avec l'idée des logarithmes. Qu'est-ce qu'un logarithme ? En effet, à une époque où tous les calculs se font à la main, la longueur de certains est un obstacle majeur à l’avancée du progrès scientifique, comme les calculs de trigonométrie en astronomie. Neper a eu une idée brillante : mettre en relation une suite géométrique (où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre fixe) et une suite arithmétique (où chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre fixe au précédent).

Le but ? Remplacer les multiplications par des additions et les divisions par des soustractions. Prenons un exemple simple avec le logarithme décimal, de base 10 : Suite géométrique (base 10) : 1,10,100,1000,… (chaque terme est multiplié par 10) Suite arithmétique : 0,1,2,3,… (chaque terme est additionné de 1) Un logarithme établit une correspondance entre ces deux suites. 1=10 ^0 →0 10=10 ^1 →1 100=10 ^2 →2 1000=10 ^3 →3 Et plus généralement, 10 ^n →n (À gauche, nous avons une progression géométrique de raison 10 (1,10,100,…) ; à droite, une progression arithmétique de raison 1 (0,1,2,…).

Le logarithme établit cette correspondance.

Ici, on peut dire que log(1)=0, log(10)=1, et ainsi de suite.) La propriété "merveilleuse" des logarithmes, qui en fait toute l'utilité, est que la somme des logarithmes de deux nombres est égale au logarithme de leur produit.

Reprenons notre exemple décimal : log(10)+log(100)=1+2=3. Cette propriété est valable pour n'importe quelle base.

Le logarithme le plus connu après le décimal est le logarithme népérien, noté ln, dont la base est le nombre e=exp(1) (environ 2,718). Relation entre tous les log Avec cette idée, Napier a créé les premières tables logarithmiques.

Pour multiplier a par b, on cherche log(a) et log(b) dans la table, on les additionne, puis on cherche dans la table le nombre dont le logarithme était ce résultat.

C'était l'antilogarithme.

Imaginez le gain de temps ! À quoi sert le logarithme inverse, ou "antilogarithme" ? L’antilogarithme sert à retrouver la valeur d’origine à partir du logarithme. Par exemple, si log(x) = 3, alors x = antilog(3) = 10³ = 1000. C’est l’opération inverse du logarithme, comme l’exponentielle est l’inverse du logarithme népérien : si ln(x) = y, alors x = e^y. D'ailleurs, cette idée a donné naissance à la règle à calcul, un instrument très populaire jusqu'aux années 1970, et qui fut même utilisée pour… aller sur la Lune ! Elle repose entièrement sur les propriétés des logarithmes. S’il a fallu quarante ans à Napier pour établir sa théorie et ses tables, une fois connues, elles ont fait gagner énormément de temps aux scientifiques de tous ordres. Une révolution pour l'astronomie L'astronomie est sans aucun doute la discipline qui.... »