* Enoncé :Soit f la fonction définie sur R par f(x) = K e^(- X ) avec X = valeur absolue de x.

« * Enoncé : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = K e^(- X ) avec X = valeur absolue de x. Question : déterminer la constante K pour que f soit une densité de probabilité. Comment résoudre cet exercice ? Pour qu'une fonction soit une fonction de densité de probabilité, il faut vérifier deux choses : 1 f(x)>0 quelquesoit x.

C'est vrai pour cette fonction 2 intégrale de - infini à + infini de f(x) dx = 1 Pour la fonction étudiée, c'est une fonction paire (0 cause de la valeur absolue) Il suffit donc de calculer 2 fois intégrale de 0 à + infini de K e-x Une primitive est donnée par -K e-x on prend entre 0 et + l'infini Et on pose +2Ke0= 1 On en déduit K = ½ * Lorsque X est une variable est une variable aléatoire continue avec comme fonction de densité de proba f(x), est- ce que E(X) = intégrale x.f(x) dx sur l'intervalle demandé ? Oui, et de plus : V(X) = integrale de x²f(x) dx - E(X)² * Est-ce que V(X) = V(-X) ? Dans quelles conditions si oui ? Dans le cours, on dit que V(aX) = a²V(X) Donc dans l'exemple donné a = -1 et a² = 1 Donc effectivement V(X) = V(-X) * Pourquoi P(-1. »