dérivée.

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dérivée. n.f. MATHÉMATIQUES : notion permettant de préciser la manière dont varie une
fonction par rapport à sa variable. En cinématique, elle est confondue avec la notion de
vitesse. Ainsi, la vitesse moyenne d'un véhicule est le rapport de la distance parcourue au
temps mis pour la parcourir. Lorsque le temps considéré devient de plus en plus petit, ce
rapport tend vers une limite, appelée vitesse instantanée (celle qui est mesurée par les
compteurs de vitesse) : c'est la « dérivée « de la distance parcourue.

Dérivée en un point.

De manière précise, soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de u. On dit
que f est dérivable en un point x0 de I si le rapport

admet une limite lorsque x tend vers x0 ; cette limite s'appelle dérivée de f au point x0
(ou encore nombre dérivé) et se note f'(x0) (lire f prime de x zéro). Le rapport précédent
représentant la pente de la corde M0M du graphe de f, la droite de pente f'(x0) et passant
par M0 s'appelle tangente au graphe de f au point M0 :

Fonctions différentiables.

La définition précédente se prête mal à la généralisation aux fonctions de un dans un, où
l'on parle plutôt de « différentiabilité «. On dit que f est différentiable au point x0 si f admet
un développement limité (voir limité [développement]) à l'ordre 1, c'est-à-dire s'il existe
une fonction affine g : x _ a(x - x0) + b telle que
f(x) = g(x) + (x - x0) p(x),
où p est une fonction définie sur I et admettant pour limite 0 en x0. On a alors b = f(x0)
et a = f'(x0) par définition de f'.
Pour une fonction f de u dans u, la dérivabilité et la différentiabilité sont équivalentes.
Pour une fonction de plusieurs variables, on définit la notion de dérivée partielle (voir ce
mot). Pour une fonction de la variable complexe (r ® r), la notion de dérivée est liée à la
notion d'angle, et les propriétés, étudiées par Cauchy, sont très différentes. Voir
holomorphe.

Dérivée sur un intervalle.
Si la fonction f admet une dérivée en tout point de I, on dit que f est dérivable sur I. La
fonction qui à tout point de I associe la dérivée de f en ce point s'appelle dérivée de f et se

note f' (lire f prime).
L'application qui à une fonction dérivable associe sa dérivée est linéaire :
(af + bg)' = af' + bg',
et on a : (fg)' = f'g + fg'
.
Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse. Il existe même
des fonctions continues sur un intervalle I qui ne sont dérivables en aucun point de I.

Dérivées successives.
Lorsque f' est continue, on dit que f est continûment dérivable, ou de classe C1. Lorsque la
fonction f' est elle-même dérivable, on dit que f est deux fois dérivable. La dérivée de f'
s'appelle dérivée seconde de f et se note f". Si f" est continue, on dit que f est de classe
C 2.
On définit par récurrence les fonctions n fois dérivables et les fonctions de classe Cn.
Une fonction dérivable à tout ordre n est dite indéfiniment dérivable ou de classe C¥ (lire C
infini). Par exemple, les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions
logarithme et exponentielle, les fonctions circulaires sont indéfiniment dérivables sur chacun
des intervalles où elles sont définies.
L'intérêt de la notion de dérivée apparaît dans la détermination du sens de variation des
fonctions et dans l'encadrement de l'accroissement entre deux valeurs de la variable (voir
accroissements finis). Dans le cas des fonctions de plusieurs variables, la notion de
dérivée fait place à celle de dérivée partielle. La notion de dérivée s'étend au cas des
fonctions d'une variable complexe, mais les propriétés sont totalement différentes. Voir
holomorphe (fonction).
Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
accroissements finis (théorème des)
cinématique
holomorphe (fonction)
limité (développement)
partielle (dérivée)
sciences (histoire des) - La matière - Le calcul infinitésimal
vitesse