ENSEMBLE
ENSEMBLE, n.m. (lat. in-simul «dans», «en même temps», «ensemble»). ♦ 1° Sens usuel. Mise en commun, rangement dans une même catégorie d'éléments qui présentent des points communs (ensemble des auditeurs, ensemble des habitants d'une maison, ensemble des œuvres d'un auteur, ...). ♦ 2° Mathématiques. Une théorie des ensembles a été élaborée à partir des travaux de Cantor. Fraenkel a donné la définition suivante : «un ensemble ou agrégat est une collection formée d'objets distincts, définis, donnés à notre intuition ou à notre intellect, et considérée comme un tout. Les objets sont appelés éléments de l’ensemble.» Les éléments des ensembles peuvent être plus ou moins déterminés. On peut avoir des ensembles de nombres, de points, de fonctions. On peut aussi avoir des ensembles abstraits dont les éléments sont tout à fait indéterminés. À ce moment, les mathématiques deviennent des axiomatiques.
ENSEMBLE
Réunion, matérielle ou intellectuelle, de plusieurs objets partageant un caractère commun suffisamment net pour que sa possession permette de décider si un objet appartient ou non à l’ensemble visé.
Depuis le XIXe siècle et grâce notamment aux travaux de Cantor, s’est développée en mathématiques une théorie des ensembles qui affirme l’existence des ensembles infinis actuels (un ensemble est infini s’il existe une correspondance bi-univoque entre lui-même et une de ses parties). Deux ensembles sont dits équivalents ou de même puissance s’ils peuvent être mis en correspondance bi-univoque. Plus particulièrement, tout ensemble pouvant être mis en correspondance bi-univoque avec les nombres naturels (entiers. positifs) est qualifié de « dénombrable ».
ENSEMBLE (n. m.) 1. — (Sens vulg.) Collection d’éléments. 2. — (Lato) Collection d’éléments définie par une propriété : Syn. classe. 3. — (Stricto) Etre mathématique dont la définition a été construite à partir de Cantor, par l’élaboration progressive de la notion naïve donnée par le sens 2 ; à proprement parler, on ne peut définir un ensemble en dehors d’une axiomatique de la théorie des ensembles : il faut remarquer que les axiomatiques ayant été construites en partie pour éviter certaines propriétés paradoxales, toute propriété ne définit pas un ensemble; la notion d’ensemble diffère donc de celle de classe (la classe de tous les ensembles n’est pas un ensemble).
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