Valeurs absolues

Valeur absolue d'un nombre I. Cours Définition : Soit x un nombre réel. On appelle valeur absolue de x , notée x , le nombre positif ou nul tel que : x = x si x >= 0 x = - x si x <= 0 Exemples : 20 = 20 -3 = 3 1-? = ?-1 car 1-? < 0 Interprétation graphique de la valeur absolue : Soit M le point image de x . On a x = OM. x M 0 Propriétés : Pour tout x réel, on a : x >= 0 x = -x x² = x Valeur absolue d'un produit : xy = x y Valeur absolue d'un quotient : x x = y y Valeur absolue d'une somme : elle n'est en général pas égal à la somme des valeurs absolues. En revanche, on a toujours : x + y <= x + y © http://www.bacdefrancais.net Page 1 sur 3 Valeur absolue Equations et inéquations avec des valeurs absolues : x =a équivaut à x = a ou x = -a suivant le signe de x x <=a équivaut à -a <= x <= a x >a équivaut à x < -a ou x > a La fonction valeur absolue : Soit f telle que f ( x) = x On a f ( x) = x si x >= 0 et f ( x) = - x si x <= 0 f est donc une fonction affine, et peut représenter son tableau de variation : x -? 0 ? x 0 Représentation graphique de la fonction valeur absolue : II. Exercices Résoudre : Essayez de résoudre sans regarder les solutions qui se trouvent page suivante. Donner les solutions sous forme d'intervalles. 1. - x <= 3 2. 2 x + 7 <= 21 3. 3x >7 4. 3 <= x - 1 <= 9 Page 2 sur 3 © http://www.bacdefrancais.net Valeur absolue Solutions : 1. -x <= 3 x <=3 -3 <= x <= 3 Donc S1 = [ -3;3] 2. 2 x + 7 <= 21 -21 <= 2 x + 7 <= 21 -28 <= 2 x <= 14 -14 <= x <= 7 S 2 = [ -14; 7 ] 3. 3x >7 3 x < -7 ou 3x>7 7 7 x<- ou x> 3 3 7? ?7 ? ? S 3 = ? -?; - ? ? ? ; +? ? 3? ?3 ? ? 4. 3 <= x -1 <= 9 Il faut résoudre deux inéquations : 3 <= x - 1 (a) et x - 1 <= 9 (b) x -1 >= 3 (a) x - 1 <= -3 ou x -1 >= 3 x <= -2 ou x>=4 S a = ]-?; -2] ? [ 4; +?[ x -1 <= 9 (b) -9 <= x - 1 <= 9 -8 <= x <= 10 Sb = [ -8;10] La solution de 4 doit vérifier les solutions de (a) et de (b) : S4 = Sa ? Sb = [ -8; -2] ? [ 4;10] © http://www.bacdefrancais.net Page 3 sur 3 Valeur absolue