Le mot "triangle" dans l'oeuvre de DESCARTES

Règles pour la direction de l'esprit, Règle troisième.

C'est ainsi que chacun peut voir intuitivement qu'il existe, qu'il pense, qu'un triangle est terminé par trois lignes, ni plus ni moins, qu'un globe n'a qu'une surface, et tant d'autres choses qui sont en plus grand nombre qu'on ne le pense communément, parce qu'on dédaigne de faire attention à des choses si faciles.

  Règles pour la direction de l'esprit, Règle douzième.

Ainsi je puis connaître un triangle sans avoir jamais remarqué que cette connaissance contient celle de l'angle, de la ligne, du nombre trois, de la figure, de l'étendue, etc.

ce qui n'empêche pas que nous ne disions que la nature du triangle est un composé de toutes ces natures, et qu'elles sont mieux connues que le triangle, puisque ce sont elles que l'on comprend en lui.

Il y a plus, dans cette même notion du triangle, il en est beaucoup d'autres qui s'y trouvent et qui nous échappent, telles que la grandeur des angles, qui sont égaux à deux droits, et les innombrables rapports des côtés, aux angles ou à la capacité de l'aire.

  Règles pour la direction de l'esprit, Règle quatorzième.

Ainsi, dans un triangle, quand on veut le mesurer exactement, trois choses sont à connaître du côté de l'objet, c'est à savoir les trois côtés, ou deux côtés et un angle, ou deux angles et l'aire, etc.

  DISCOURS DE LA METHODE, Quatrième partie.

Car par exemple, je voyais bien que, supposant un triangle, il fallait que ses trois angles fussent égaux à deux droits ;

mais je ne voyais rien pour cela qui m'assurât qu'il y eût au monde aucun triangle.

Au lieu que, revenant à examiner l'idée que j'avais d'un Etre parfait, je trouvais que l'existence y était comprise, en même façon qu'il est compris en celle d'un triangle que ses trois angles sont égaux à deux droits, ou en celle d'une sphère que toutes ses parties sont également distantes de son centre, ou même encore plus évidemment ;

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS HUITIÈME, DES FIGURES QUE DOIVENT AVOIR LES CORPS TRANSPARENTS POUR DÉTOURNER LES RAYONS PAR RÉFRACTION EN TOUTES LES FACONS QUI SERVENT A LA VUE.

Car d'une part, les triangles BFN et BLA sont semblables, à cause qu'ils sont tous deux rectangles, et que NF et BA étant parallèles, les angles FNB et ABL sont égaux ;

et d'autre part, les triangles NBM et IBG sont aussi semblables, à cause qu'ils sont rectangles, et que l'angle vers B est commun à tous deux.

Et outre cela les deux triangles BFN et BMN ont même rapport entre eux que les deux ALB et BGI, à cause que comme les bases de ceux-ci BA et BI sont égales, ainsi BN qui est à la base du triangle BFN est égale à soi-même en tant qu'elle est aussi la base du triangle BMN.

D'où il suit évidemment que comme BF est à NM, ainsi AL celui des côtés du triangle ALB qui se rapporte à BF, dans le triangle BFN, c'est-à-dire qui est la subtendue du même angle, est à IG, celui des côtés du triangle BGI qui se rapporte au côté NM du triangle BNM.

Puis BF est à NM comme BI est à NI, à cause que les deux triangles BIF et NIM, étant rectangles, et ayant le même angle vers I, sont semblables.

De plus, si on tire HO parallèle à NB, et qu'on prolonge IB jusques à O, on verra que Bl est à Nl, comme OI est à HI, à cause que les triangles BNI et OHI sont semblables.

Et par conséquent le triangle HBO est isocèle, et la ligne OB étant égale à HB, la toute OI est égale à DK, d'autant que les deux ensembles HB et IB lui sont égales.

Car d'une part les triangles BFN et BLA sont semblables, à cause qu'ils sont tous deux rectangles et que NF et BA étant parallèles les angles FNB et LBA sont égaux.

Et d'autre part les triangles IGB et NMB sont aussi semblables à cause qu'ils sont rectangles et que les angles IBG et NBM sont égaux.

Et outre cela, comme la même BN sert de base aux deux triangles BFN et NMB, ainsi BA la base du triangle ALB est égale à BI la base du triangle IGB.

D'où il suit que comme les côtés du triangle BFN sont à ceux du triangle NMB, ainsi ceux du triangle ALB sont aussi à ceux du triangle IBG.

Puis BF est à NM comme BI est à NI, à cause que les deux triangles BIF et NIM, étant rectangles, et ayant le même angle vers I, sont semblables.

De plus, si on tire HO parallèle à LG on verra que BI est à NI comme OI est à HI, à cause que les deux triangles BNI et OHI sont semblables.

Enfin les deux angles EBH et EBI étant égaux par la construction, et HO, qui est parallèle à LG, coupant comme elle CE à angles droits, les deux triangles BEH et BEO sont entièrement égaux.

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS DIXIEME, DE LA FACON DE TAILLER LES VERRES.

Puis RPQ est une pièce du verre que vous voulez éprouver, taillée en forme de triangle, dont l'angle RQP est droit, et PRQ plus aigu que RPQ.

Or, connaissant ainsi exactement ces trois points BPI et par conséquent aussi le triangle qu'ils déterminent, on doit transférer ce triangle avec un compas sur du papier ou quelqu'autre plan fort uni.

De quoi si on n'est pas encore certain, on pourra faire tailler du même verre d'autres petits triangles rectangles différents de celui-ci, et se servant d'eux en même sorte pour chercher cette proportion, on la trouvera toujours semblable, et ainsi on n'aura aucune occasion de douter que ce ne soit véritablement celle qu'on cherchait.

  LES METEORES, DISCOURS HUITIEME, DE L'ARC-EN-CIEL.

Puis, me souvenant qu'un prisme ou triangle de cristal en fait voir de semblables, j'en ai considéré un qui était tel qu'est ici MNP, dont les deux superficies MN et NP sont toutes plates, et inclinées l'une sur l'autre selon un angle d'environ 30 ou 40 degrés, en sorte que, si les rayons du soleil ABC traversent MN à angles droits ou presque droits, et ainsi n'y souffrent aucune sensible réfraction, ils en doivent souffrir une assez grande en sortant par NP.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, Méditation Cinquième.

Comme, par exemple, lorsque j'imagine un triangle, encore qu'il n'y ait peut-être en aucun lieu du monde hors de ma pensée une telle figure, et qu'il n'y en ait jamais eu, il ne laisse pas néanmoins d'y avoir une certaine nature, ou forme, ou essence déterminée de cette figure, laquelle est immuable et éternelle, que je n'ai point inventée, et qui ne dépend en aucune façon de mon esprit ;

comme il paraît de ce que l'on peut démontrer diverses propriétés de ce triangle, à savoir, que les trois angles sont égaux à deux droits, que le plus grand angle est soutenu par le plus grand côté, et autres semblables, lesquelles maintenant, soit que je le veuille ou non, je reconnais très clairement et très évidemment être en lui, encore que je n'y aie pensé auparavant en aucune façon, lorsque je me suis imaginé la première fois un triangle ;

Et je n'ai que faire ici de m'objecter, que peut-être cette idée du triangle est venue en mon esprit par l'entremise de mes sens, pour avoir vu quelquefois des corps de figure triangulaire ;

car je puis former en mon esprit une infinité d'autres figures, dont on ne peut avoir le moindre soupçon que jamais elles me soient tombées sous les sens, et je ne laisse pas toutefois de pouvoir démontrer diverses propriétés touchant leur nature, aussi bien que touchant celle du triangle :

Mais néanmoins, lorsque j'y pense avec plus d'attention, je trouve manifestement que l'existence ne peut non plus être séparée de l'essence de Dieu, que de l'essence d'un triangle rectiligne la grandeur de ses trois angles égaux à deux droits, ou bien de l'idée d'une montagne l'idée d'une vallée ;

de même qu'il n'est pas nécessaire que j'imagine jamais aucun triangle ;

Comme, par exemple, en tout triangle rectangle, encore qu'il ne paraisse pas d'abord si facilement que le carré de la base est égal aux carrés des deux autres côtés, comme il est évident que cette base est opposée au plus grand angle, néanmoins, depuis que cela a été une fois reconnu, on est autant persuadé de la vérité de l'un que de l'autre.

Comme, par exemple, lorsque je considère la nature du triangle rectiligne, je connais évidemment, moi qui suis un peu versé dans la géométrie, que ses trois angles sont égaux à deux droits, et il ne m'est pas possible de ne le point croire, pendant que j'applique ma pensée à sa démonstration ;

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, Méditation Sixième.

Par exemple, lorsque j'imagine un triangle, non seulement je conçois que c'est une figure composée de trois lignes, mais avec cela j'envisage ces trois lignes comme présentes par la force et l'application intérieure de mon esprit ;

Que si je veux penser à un chiliogone, je conçois bien à la vérité que c'est une figure composée de mille côtés, aussi facilement que je conçois qu'un triangle est une figure composée de trois côtés seulement ;

mais je ne puis pas imaginer les mille côtés d'un chiliogone, comme je fais les trois d'un triangle, ni, pour ainsi dire, les regarder comme présents avec les yeux de mon esprit.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, REPONSES DE L'AUTEUR AUX PREMIERES OBJECTIONS.

à laquelle demande il a répondu, premièrement, que de toutes les idées, il en est de même que de ce que j'ai écrit de l'idée du triangle, savoir est que, bien que peut-être il n'y ait point de triangle en aucun lieu du monde, il ne laisse pas d'y avoir une certaine nature, ou forme, ou essence déterminée du triangle, laquelle est immuable et éternelle, et laquelle il dit n'avoir pas besoin de cause.

car, encore que la nature du triangle soit immuable et éternelle, il n'est pas pour cela moins permis de demander pourquoi son idée est en nous.

Car, comme répond fort bien ce subtil théologien, une chose peut être limitée en deux façons, ou parce que celui qui l'a produite ne lui a pas donné plus de perfections, ou parce que sa nature est telle qu'elle n'en peut recevoir qu'un certain nombre, comme il est de la nature du triangle de n'avoir pas plus de trois côtés.

Et en l'autre, j'ai maintenu que l'existence n'appartenait pas moins à la nature de l'être souverainement parfait, que trois côtés appartiennent à la nature du triangle :

Par exemple, lorsque je me représente un cheval ailé, ou un lion actuellement existant, ou un triangle inscrit dans un carré, je conçois facilement que je puis aussi tout au contraire me représenter un cheval qui n'ait point d'ailes, un lion qui ne soit point existant, un triangle sans carré, et partant, que ces choses n'ont point de vraies et immuables natures.

Mais si je me représente un triangle, ou un carré (je ne parle point ici du lion ni du cheval, parce que leurs natures ne nous sont pas encore entièrement connues), alors certes toutes les choses que je reconnaîtrai être contenues dans l'idée du triangle, comme que ses trois angles sont égaux à deux droits, etc.

, je l'assurerai avec vérité d'un triangle ;

car encore que je puisse concevoir un triangle, en restreignant tellement ma pensée, que je ne conçoive en aucune façon que ses trois angles sont égaux à deux droits, je ne puis pas néanmoins nier cela de lui par une claire et distincte opération, c'est-à-dire entendant nettement ce que je dis.

De plus, si je considère un triangle inscrit dans un carré, non afin d'attribuer au carré ce qui appartient seulement au triangle, ou d'attribuer au triangle ce qui appartient au carré, mais pour examiner seulement les choses qui naissent de la conjonction de l'un et de l'autre, la nature de cette figure composée du triangle et du carré ne sera pas moins vraie et immuable, que celle du seul carré ou du seul triangle.

De façon que je pourrai assurer avec vérité que le carré n'est pas moindre que le double du triangle qui lui est inscrit, et autres choses semblables qui appartiennent à la nature de cette figure composée.

Et de plus, à cause qu'en examinant l'idée du corps, je ne vois en lui aucune force par laquelle il se produise ou se conserve lui-même, je conclus fort bien que l'existence nécessaire, de laquelle seule il est ici question, convient aussi peu à la nature du corps, tant parfait qu'il puisse être, qu'il appartient à la nature d'une montagne de n'avoir point de vallée, ou à la nature du triangle d'avoir ses trois angles plus grands que deux droits.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, REPONSES DE L'AUTEUR AUX SECONDES OBJECTIONS.

Or, qu'un athée puisse connaître clairement que les trois angles d'un triangle sont égaux à deux droits, je ne le nie pas ;

si avoir les trois angles égaux à deux droits appartient à la nature du triangle rectiligne, on peut assurer que le triangle rectiligne a ses trois angles égaux à deux droits ;

Car, par la même raison que l'on nie que la nature de Dieu est possible, encore qu'il ne se rencontre aucune impossibilité de la part du concept ou de la pensée, mais qu'au contraire toutes les choses qui sont contenues dans ce concept de la nature divine, soient tellement connexes entre elles, qu'il nous semble y avoir de la contradiction à dire qu'il y en ait quelqu'une qui n'appartienne pas à la nature de Dieu, on pourra aussi nier qu'il soit possible que les trois angles d'un triangle soient égaux à deux droits, ou que celui qui pense actuellement existe ;

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, REPONSES DE L'AUTEUR AUX SECONDES OBJECTIONS, Demandes.

En quatrième lieu, qu'ils examinent les idées de ces natures, qui contiennent en elles un assemblage de plusieurs attributs ensemble, comme est la nature du triangle, celle du carré ou de quelque autre figure ;

Par exemple, parce que, dans la nature du triangle rectiligne, cette propriété se trouve contenue, que ses trois angles sont égaux à deux droits, et que dans la nature du Corps ou d'une chose étendue la divisibilité y est comprise, car nous ne concevons point de chose étendue si petite, que nous ne la puissions diviser, au moins par la pensée, il est vrai de dire que les trois angles de tout triangle rectiligne sont égaux à deux droits, et que tout corps est divisible.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, TROISIÈMES OBJECTIONS, OBJECTION XIVe.

“   Comme, par exemple, lorsque j'imagine un triangle, encore qu'il n'y ait peut-être en aucun lieu du monde hors de ma pensée une telle figure, et qu'il n'y en ait jamais eu, il ne laisse pas néanmoins d'y avoir une certaine nature, ou forme, ou essence déterminée de cette figure, laquelle est immuable et éternelle, que je n'ai point inventée, et qui ne dépend en aucune façon de mon esprit, comme il paraît de ce que l'on peut démontrer diverses propriétés de ce triangle.

S'il n'y a point de triangle en aucun lieu du monde, je ne puis comprendre comment il a une nature ;

L'idée que notre esprit conçoit du triangle, vient d'un autre triangle que nous avons vu, ou inventé sur les choses que nous avons vues ;

mais depuis qu'une fois nous avons appelé du nom de triangle la chose d'où nous pensons que l'idée du triangle tire son origine, encore que cette chose périsse, le nom demeure toujours.

De même, si nous avons une fois conçu par la pensée que tous les angles d'un triangle pris ensemble sont égaux à deux droits et que nous ayons donné cet autre nom au triangle :

qu'il est une chose qui a trois angles égaux à deux droits, quand il n'y aurait au monde aucun triangle, le nom néanmoins ne laisserait pas de demeurer.

Et ainsi la vérité de cette proposition sera éternelle, que le triangle est une chose qui a trois angles égaux à deux droits ;

mais la nature du triangle ne sera pas pour cela éternelle, car s'il arrivait par hasard que tout triangle généralement périt, elle cesserait aussi d'être.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, REPONSES DE L'AUTEUR AUX QUATRIEMES OBJECTIONS, REPONSES A LA PREMIERE PARTIE.

Ce qu'il explique par l'exemple du triangle inscrit au demi-cercle, que nous pouvons clairement et distinctement concevoir être rectangle, encore que nous ignorions, ou même que nous niions, que le carré de sa base soit égal aux carrés des côtés ;

et néanmoins on ne peut pas de là inférer qu'on puisse faire un triangle rectangle, duquel le carré de la base ne soit pas égal aux carrés des côtés.

Car, premièrement, encore que peut-être par un triangle on puisse entendre une substance dont la figure est triangulaire, certes la propriété d'avoir le carré de la base égal aux carrés des côtés, n'est pas une substance, et partant, chacune de ces deux choses ne peut pas être entendue comme une chose complète, ainsi que le sont l'esprit et le corps.

En second lieu, encore que nous puissions clairement et distinctement concevoir que le triangle au demi-cercle est rectangle, sans apercevoir que le carré de sa base est égal aux carrés des côtés, néanmoins nous ne pouvons pas concevoir ainsi clairement un triangle duquel le carré de la base soit égal aux carrés des côtés, sans que nous apercevions en même temps qu'il est rectangle ;

En troisième lieu, encore que le concept ou l'idée du triangle inscrit au demi-cercle puisse être telle, qu'elle ne contienne point l'égalité qui est entre le carré de la base et les carrés des côtés, elle ne peut pas néanmoins être telle, que l'on conçoive que nulle proportion qui puisse être entre le carré de la base et les carrés des côtés n'appartient à ce triangle ;

“   or est-il que je conçois clairement et distinctement que ce triangle est rectangle, encore que je doute ou que je nie que le carré de sa base soit égal aux carrés des côtés, etc.

Secondement, parce que cette proportion d'égalité ne peut être clairement entendue que dans un triangle rectangle.

Et en troisième lieu, parce qu'un triangle même ne saurait être distinctement conçu, si on nie la proportion qui est entre les carrés de ses côtés et de sa base.

“   Je conçois fort bien, dit Monsieur Arnauld, la nature du triangle inscrit dans le demi-cercle, sans que je sache que le carré de sa base est égal aux carrés des côtés.

A quoi je réponds que ce triangle peut véritablement être conçu, sans que l'on pense à la proportion qui est entre le carré de sa base et les carrés de ses côtés, mais qu'on ne peut pas concevoir que cette proportion doive être niée de ce triangle, c'est-à-dire qu'elle n'appartienne point à sa nature.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, REPONSES DE L'AUTEUR AUX QUATRIEMES OBJECTIONS, REPONSE A L'AUTRE PARTIE, DE DIEU.

or est-il qu'il n'est pas moins de l'essence d'un être infini d'exister, qu'il est de l'essence d'un triangle d'avoir ses trois angles égaux à deux droits ;

donc il ne faut non plus répondre par la cause efficiente, lorsqu'on demande pourquoi Dieu existe, que lorsqu'on demande pourquoi les trois angles d'un triangle sont égaux à deux droits.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, RÉPONSES AUX CINQUIEMES OBJECTIONS, DES CHOSES QUI ONT ÉTÉ OBJECTÉES CONTRE LA TROISIEME MÉDITATION.

quoiqu'il soit certain que Dieu ou quelque autre nature intelligente en puisse avoir une autre beaucoup plus parfaite, c'est-à-dire beaucoup plus exacte et plus distincte que celle que les hommes en ont, en même façon que nous disons que celui qui n'est pas versé dans la géométrie ne laisse pas d'avoir l'idée de tout le triangle lorsqu'il le conçoit comme une figure composée de trois lignes, quoique les géomètres puissent connaître plusieurs autres propriétés du triangle, et remarquer quantité de choses dans son idée que celui-là n'y observe pas.

Car, comme il suffit de concevoir une figure composée de trois lignes pour avoir l'idée de tout le triangle, de même il suffit de concevoir une chose qui n'est renfermée d'aucunes limites pour avoir une vraie et entière idée de tout l'infini.

de la même façon que l'idée du triangle n'est point augmentée lorsqu'on vient à remarquer en lui plusieurs propriétés qu'on avait auparavant ignorées.

Enfin, lorsque vous dites “   qu'il y a lieu de s'étonner pourquoi le reste des hommes n'a pas les mêmes pensées de Dieu que celles que j'ai, puisqu'il a empreint en eux son idée aussi bien qu'en moi “  , c'est de même que si vous vous étonniez de ce que, tout le monde ayant la notion du triangle, chacun pourtant n'y remarque pas également autant de propriétés, et qu'il y en a même peut-être quelques-uns qui lui attribuent faussement plusieurs choses.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, RÉPONSES AUX CINQUIEMES OBJECTIONS, DES CHOSES QUI ONT ÉTÉ OBJECTÉES CONTRE LA CINQUIEME MEDITATION.

Mais pour ce qui regarde les essences que nous connaissons clairement et distinctement, telles qu'est celle du triangle ou de quelque autre figure de géométrie, je vous ferai aisément avouer que les idées de celles qui sont en nous n'ont point été tirées des idées des choses singulières ;

d'où il suit nécessairement qu'il n'y a jamais eu aucun triangle dans le monde, ni rien de tout ce que nous concevons appartenir à la nature du triangle, ou à celle de quelque autre figure de géométrie, et partant que les essences de ces choses n'ont point été tirées d'aucunes choses existantes.

Et partant, lorsque nous avons la première fois aperçu en notre enfance une figure triangulaire tracée sur le papier, cette figure n'a pu nous apprendre comme il fallait concevoir le triangle géométrique, parce qu'elle ne le représentait pas mieux qu'un mauvais crayon une image parfaite.

Mais, d'autant que l'idée véritable du triangle était déjà en nous, et que notre esprit la pouvait plus aisément concevoir que la figure moins simple ou plus composée d'un triangle peint, de là vient qu'ayant vu cette figure composée nous ne l'avons pas conçue elle-même, mais plutôt le véritable triangle.

Ainsi, certes, nous ne pourrions jamais connaître le triangle géométrique par celui que nous voyons tracé sur le papier, si notre esprit d'ailleurs n'en avait eu l'idée.

C'est pourquoi aussi l'existence du triangle ne doit pas être comparée avec l'existence de Dieu, parce qu'elle a manifestement en Dieu une autre relation à l'essence qu'elle n'a pas dans le triangle ;

et je ne commets pas plutôt en ceci la faute que les logiciens nomment une pétition de principe, lorsque je mets l'existence entre les choses qui appartiennent à l'essence de Dieu, que lorsque entre les propriétés du triangle je mets l'égalité de la grandeur de ses trois angles avec deux droits.

Il n'est pas vrai aussi que l'essence et l'existence en Dieu, aussi bien que dans le triangle, peuvent être conçues l'une sans l'autre, parce que Dieu est son être, et non pas le triangle.

Et toutefois je ne nie pas que l'existence possible ne soit une perfection dans l'idée du triangle, comme l'existence nécessaire est une perfection dans l'idée de Dieu, car cela la rend plus parfaite que ne sont les idées de toutes ces chimères que nous supposons ne pouvoir être produites.

et vous vous trompez grandement lorsque vous dites qu'on ne démontre pas l'existence de Dieu comme on démontre que tout triangle rectiligne a ses trois angles égaux à deux droits ;

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, PREMIERE PARTIE, Art. 13.

Par exemple, elle a en soi les idées des nombres et des figures, elle a aussi entre ses communes notions, “   que,si on ajoute des quantités égales à d'autres quantités égales, les tous seront égaux “  , et beaucoup d'autres aussi évidentes que celle-ci, par lesquelles il est aisé de démontrer que les trois angles d'un triangle sont égaux à deux droits, etc.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, PREMIERE PARTIE, Art. 14.

Et comme de ce qu'elle voit qu'il est nécessairement compris dans l'idée qu'elle a du triangle que ses trois angles soient égaux à deux droits, elle se persuade absolument que le triangle a les trois angles égaux à deux droits ;

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, PREMIERE PARTIE, Art. 59.

De même, lorsque nous considérons une figure de trois côtés, nous formons une certaine idée que nous nommons l'idée du triangle, et nous en servons ensuite à nous représenter généralement toutes les figures qui n'ont que trois côtés.

Mais quand nous remarquons plus particulièrement que, des figures de trois côtés, les unes ont un angle droit et que les autres n'en ont point, nous formons en nous une idée universelle du triangle rectangle, qui, étant rapportée à la précédente qui est générale et plus universelle, peut être nommée espèce ;

et l'angle droit, la différence universelle par où les triangles rectangles diffèrent de tous les autres ;

de plus, si nous remarquons que le carré du côté qui sous-tend l'angle droit est égal aux carrés des deux autres côtés, et que cette propriété convient seulement à cette espèce de triangles, nous la pourrons nommer propriété universelle des triangles rectangles.

Enfin, si nous supposons que de ces triangles les uns se meuvent et que les autres ne se meuvent point, nous prendrons cela pour un accident universel en ces triangles ;

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 62.

Et que, par exemple, la petite boule F est poussée par toutes celles qui sont comprises entre les lignes BF et DF, ou bien dans le triangle BFD, et qu'elle n'est poussée par aucune de celles qui sont hors de ce triangle ;

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 63.

On pourra voir aussi qu'au même instant que la plus basse commencera de se mouvoir, celles qui sont comprises dans le triangle BFD s'avanceront toutes, mais qu'il n'y en aura pas une de celles qui sont hors de ce triangle qui se dispose à se mouvoir vers là.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 65.

de même, le troisième, qu'il faut imaginer avoir son centre hors du plan SAFE, et faire un triangle avec les centres S et F, se joignant aux deux tourbillons AEI et AEV, en la ligne droite AE, tournera d'A par E vers le haut.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 78.

Et j'ai déjà prouvé ceci touchant les petites boules qui sont comprises dans le triangle qui a pour sa base l'écliptique du soleil, bien que je ne considérasse point encore que la matière du premier élément y contribue.

Mais le même peut maintenant être encore mieux expliqué par son moyen, non seulement touchant les petites boules qui sont en ce triangle, mais aussi touchant toutes les autres qui sont dans le cône dHf :

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 90.

Premièrement, ils doivent avoir la figure d'un triangle en leur largeur et profondeur, à cause qu'ils passent par ces petits espaces triangulaires qui se trouvent au milieu de trois des parties du second élément quand elles se touchent.

mais il suffit que nous les concevions ainsi que de petites colonnes cannelées à trois raies ou canaux et tournées comme la coquille d'un limaçon, tellement qu'elles puissent passer en tournoyant par les petits intervalles qui ont la figure du triangle curviligne FIG, et qui se rencontrent infailliblement entre trois boules lorsqu'elles s'entre-touchent.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 92.

Mais afin qu'on ne croie pas que j'assure sans raison que ces parties du premier élément n'ont que trois canaux en leur superficie, nonobstant que les parties du second ne se touchent pas toujours de telle sorte que les intervalles qu'elles laissent entre elles aient la figure d'un triangle, on peut voir ici que les autres figures qu'ont les intervalles qui se trouvent entre ces parties du second élément ont toujours leurs angles entièrement égaux à ceux du triangle FGI ;

Par exemple, les quatre boules ABCH qui se touchent aux points KLGE, laissent au milieu d'elles un espace qui a quatre angles, chacun desquels est égal à chaque angle du triangle FGI ;

et parce que ces petites boules, en se remuant, changent sans cesse la figure de cet espace, en sorte que tantôt il est carré, tantôt plus long que large, et qu'il est aussi quelquefois divisé en deux autres espaces qui ont chacun la figure d'un triangle, cela fait que la matière du premier élément la moins agitée qui se trouve là est contrainte de se retirer vers un ou deux de ces angles, et de quitter ce qui reste de place à la matière la plus agitée, laquelle peut changer à tous moments de figure pour s'accommoder à tous les mouvements de ces petites boules.

Et si par hasard il y a quelque partie de cette matière du premier élément, ainsi retirée vers l'un de ces angles, qui s'étende vers l'endroit opposé à cet angle au-delà d'un espace égal au triangle FGI, elle sera heurtée et divisée par la rencontre de la troisième boule lorsqu'elle s'avancera pour toucher les deux autres qui font l'angle où cette matière s'est retirée.

Par exemple, si la matière qui n'est pas la plus agitée, après s'être retirée en l'angle G, s'étend vers D, plus loin que la ligne FI, la boule C, en roulant vers B, la chassera hors de cet angle, ou bien en retranchera ce qui l'empêche de fermer le triangle FGI.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 97.

d'où il suit que ces extrémités doivent alors paraître peintes des couleurs de l'arc-en-ciel, pour les raisons que j'ai expliquées au huitième discours des Météores, en parlant d'un prisme ou triangle de cristal, et on a souvent observé de telles couleurs en ces taches.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 135.

Car la boule C ne peut pousser vers B la petite boule marquée, qu'elle ne pousse les deux autres 1 et 3 vers D et vers E, au moyen de quoi elle pousse aussi toutes celles qui sont dans le triangle DCE.

  Correspondance, année 1638, AU R. P. MERSENNE, 27 mai 1638. (Les éditions contemporaines datent cette lettre du 17 mai 1638).

, il est évident que la perpendiculaire BD est égale au diamètre du cercle, et que toute l'aire du triangle rectiligne ADC est double de ce cercle.

Puis prenant E pour le point où ce même cercle toucherait la courbe AED, s'il était posé sur sa base au point G, et prenant aussi E pour le point où il touche cette courbe quand il est posé sur le point H de sa base, il est évident que les deux triangle rectiligne AED et DFC sont égaux au carré STVX inscrit dans le cercle.

Et tout de même prenant les points IKLM pour ceux où le cercle touche la courbe, lorsqu'il touche sa base aux points NOPQ, il est évident que les quatre triangles AIE, EKD, DLF et FMC sont ensemble égaux aux quatre triangles isocèles inscrit dans le cercle SYT, TZV, VIX, X2S, et que les huit autres triangles inscrits dans la courbe sur les côtés de ces quatre seront égaux aux huit inscrits dans le cercle, et ainsi à l'infini.

  Correspondance, année 1638, Au R. P. MERSENNE, 8 octobre 1638. (Les éditions contemporaines retiennent comme date le 11 octobre 1638).

Enfin tout ce qu'il dit des degrés de vitesse du mouvement se peut dire en même façon des degrés de largeur du triangle ABC, et toutefois je ne crois pas qu'il veuille nier qu'entre le point A et la ligne BC, toutes les largeurs qui sont moindres que BC ne s'y rencontrent.

Je n'ai nullement changé de medium en ma démonstration de la roulette, car il consiste en l'égalité des triangles inscrits, ce que j'ai toujours retenu ;

Il devrait avoir honte d'avoir nié ma première démonstration, c'est-à-dire de n'avoir su calculer les triangles inscrits dans cette roulette et dans le cercle.

  Correspondance, année 1641, Au R. P. MERSENNE , 8 janvier 1641 (Les éditions contemporaines datent cette lettre du 31 décembre 1640.).

Mais je ne nie point qu'il n'y ait des choses en Dieu que nous n'entendons pas, ainsi qu'il y a même en un triangle plusieurs propriétés que jamais aucun mathématicien ne connaîtra, bien que tous ne laissent pas pour cela de savoir ce que c'est qu'un triangle.

  Correspondance, année 1641, Au R. P. MERSENNE, 28 février 1641. (Les éditions contemporaines datent cette lettre du 28 janvier 1641.).

que le triangle est imaginé inscrit dans le cercle de l'équateur, duquel il trouve le centre par la rencontre des deux perpendiculaires sur les deux côtés de ce triangle ;

  Correspondance, année 1641, AU R. P. MERSENNE, Mon Révérend Père,.

mais j'ai expliqué en ma réponse ad primas Objectiones, comment un triangle inscrit dans un carré peut être pris pour une seule idée, ou pour plusieurs.

  Correspondance, année 1644, Au P. MESLAND, 15 mai 1644. (Les éditions contemporaines retiennent comme date le 2 mai 1644).

Pour la difficulté de concevoir, comment il a été libre et indifférent à Dieu de faire qu'il ne fût pas vrai, que les trois angles d'un triangle fussent égaux à deux droits, ou généralement que les contradictoires ne peuvent être ensemble, on la peut aisément ôter, en considérant que la puissance de Dieu ne peut avoir aucunes bornes, puis aussi, en considérant que notre esprit est fini, et créé de telle nature, qu'il peut concevoir comme possibles les choses que Dieu a voulu être véritablement possibles, mais non pas de telle, qu'il puisse aussi concevoir comme possibles celles que Dieu aurait pu rendre possibles, mais qu'il a toutefois voulu rendre impossibles.